Salas de aula reduzem importância das aplicações práticas a fórmulas opacas.

O estudo das relações entre os lados e os ângulos dos triângulos, que chamamos trigonometria, remonta à antiguidade e é uma das áreas mais centrais e úteis da matemática.

Infelizmente, na sala de aula costuma ser reduzido a uma lista de definições e fórmulas opacas, sem menção às suas importantes aplicações práticas. 

Não surpreende que a maioria dos alunos não guarde boa lembrança. E os nomes estranhos das funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente etc.) não ajudam.

Em espanhol, “seno” também significa “seio”, e uma vez um colega de Madrid me garantiu que essa seria a origem do nome, fazendo referência à forma arredondada do gráfico da função seno. Mas a história é um pouco mais complicada.

A noção de seno de um ângulo apareceu pela primeira vez por volta do ano 500, em trabalho do matemático e astrônomo hindu Aryabhata, o Velho (476 – 550). Ele usou o nome “jya” (corda de arco) que, por uma tradução mal feita, virou “jaib” (dobra ou baía) em árabe e, depois, “sinus” (dobra, baía ou... seio) em latim. Desta última, popularizada por Leonardo Fibonacci (1170 – 1250), o maior matemático da Europa medieval, resultou o nome atual.

Uma das aplicações mais impactantes da trigonometria foi na criação do Sistema Métrico Decimal, que hoje é utilizado na maioria dos países. Até o século 18, eram usadas centenas de unidades de peso e medida, que variavam de região para região e ao longo do tempo. Os franceses, por exemplo, mediam comprimento em “pés do rei”, com óbvios inconvenientes quando mudava o monarca. Com a industrialização e o crescimento do comércio, ficou urgente padronizar as unidades.

Após tentativas fracassadas para se criar um padrão internacional por consenso, a França revolucionária saiu na frente. Em 1790, a Academia Francesa de Ciências nomeou cinco notáveis cientistas — Borda, Condorcet, Lagrange, Laplace e Monge — para se debruçar sobre o problema e apresentar propostas concretas. Em seu relatório eles propuseram, entre outras coisas, que a unidade de comprimento passasse a ser o “metro”, definido como 1/40.000.000 do comprimento de um meridiano terrestre.

Um detalhe incômodo era que os meridianos não têm todos o mesmo comprimento... Mas isso não era problema para os patrióticos gauleses: escolheram o meridiano que passa pelo centro do Observatório de Paris! Visitei-o anos atrás: um trilho metálico atravessa o prédio do Observatório, assinalando a localização desse meridiano histórico.

Um problema mais sério era como medir um meridiano. Estender uma trena de 40 mil km em volta da Terra estava fora de questão, evidentemente.

• Sem trigonometria, não existiria cartografia nem GPS

Primeira definição oficial do metro foi feita na década de 1790, na França.

 Ao final do século 18, a França adotou como medida oficial de comprimento o “metro”, definido como 1/40.000.000 do comprimento do meridiano de Paris. O problema é que é impossível medir um meridiano diretamente. A solução foi escolher duas cidades sobre o meridiano de Paris, Dunquerque e Barcelona, e medir a distância e a diferença de latitude entre elas: a partir daí, o comprimento do meridiano pode ser obtido usando uma regra de três.

Mas a tarefa continuava complicada, pois a distância entre essas cidades é de mais de 1 mil km... Até os anos 1980, distâncias entre pontos na superfície da Terra –possivelmente separados por montanhas, lagos etc– eram calculadas usando o método de triangulação, baseado na trigonometria. 

Atualmente a medição de distâncias terrestres é feita por satélites  

A ideia é a seguinte: começamos com dois pontos, A e B, tais que a distância entre eles é conhecida. Dado outro ponto, C, visível a partir de ambos, procedemos da seguinte forma: no ponto A, medimos o ângulo entre as direções AB e AC, e no ponto B medimos o ângulo entre as direções AB e BC. Isso é feito usando uma espécie de luneta, chamada teodolito. Com essas informações, usando funções trigonométricas, é possível calcular as distâncias entre A e C e entre B e C. Depois, podemos calcular as distâncias de A e C (ou B e C) a outro ponto D, e assim sucessivamente.

Este método permitiu que os astrônomos Jean-Baptiste Delambre (1749 – 1822) e Pierre Méchain (1744 – 1804) medissem com precisão a distância de Dunquerque a Barcelona, entre 1792 e 1799. A partir desses resultados, foi dada a primeira definição oficial do metro.

Mas o uso da trigonometria na cartografia começara antes. Na França, esteve muito ligada à família Cassini, uma das dinastias mais notáveis da história da ciência. Nos anos 1670, o astrônomo real Giovanni Domenico Cassini (1625 – 1712) dera início a um projeto de mapear toda a França. Juntamente com o filho, Jacques Cassini (1677 – 1756), concluiu em 1718 a primeira medição da distância de Dunquerque a Barcelona, que seria usada para construir protótipos provisórios do metro, enquanto se aguardava Delambre e Méchain terminarem seu trabalho.

O filho de Jacques, César-François Cassini (1714 – 1784), partiu do trabalho do pai e avô para obter a primeira triangulação completa do território francês. Seu filho, Jean-Dominique Cassini (1748 - 1845) – bisneto de Giovanni Domenico, que dera origem à dinastia no século anterior –, refinou e concluiu o trabalho do pai. O mapa Cassini, publicado pelos dois entre 1744 e 1793, estabeleceu o padrão da cartografia científica. 

Com o advento dos satélites artificiais, a medição de distâncias e a elaboração de mapas passaram a ser feitas do espaço. Mas isso só aumentou o papel da trigonometria. Por exemplo, os sistemas de posicionamento global (GPS) dependem das funções trigonométricas para funcionar: é usada trigonometria esférica (ou espacial), para lidar com as 3 dimensões do espaço. Futuramente, além da latitude e longitude eles darão também a altitude, com precisão suficiente para que aviões possam usar o GPS em sua navegação.

Marcelo Viana -diretor-geral do Instituto de Matemática Pura e Aplicada, ganhador do Prêmio Louis D., do Institut de France.

Fonte: coluna jornal FSP