Sequência se relaciona com criação de coelhos e até com crescimento das folhas nos caules

Era adolescente quando li pela primeira vez sobre Fibonacci. Num livro ilustrado que explicava que esses números têm a ver com criação de coelhos e, incrivelmente, afirmava que eles regem o crescimento das folhas em torno do caule das plantas. Desde então, aprendi muito mais sobre esses números mágicos, mas nada apagou a fascinação da primeira leitura.

Leonardo Pisano, que seria alcunhado Fibonacci muito depois de sua morte, nasceu em 1170 na próspera cidade de Pisa (foi contemporâneo do início da construção da famosa torra inclinada). Filho de comerciante, interessou-se pelos métodos de cálculo de seus conterrâneos.

Em 1202, publicou "Liber abaci" (Livro do ábaco), o mais importante livro de matemática escrito no ocidente em um milênio. Nele, apresentou à Europa muito do conhecimento adquirido com matemáticos árabes e judeus, com destaque para o sistema hindu (decimal) de numeração, que usamos até hoje.

Mas o que fez Fibonacci famoso, mais do que qualquer outra coisa, foi um pequeno exercício que incluiu no capítulo XII do "Liber Abaci": “Um homem colocou um casal de coelhos num recinto fechado. Quantos casais serão produzidos em um ano, se supusermos que cada casal gera outro por mês a partir de seu segundo mês de vida?”

Representando por F_n o número de casais de coelhos no n-ésimo mês, temos que F₁=F₂=1 (é o casal inicial, que ainda não se tornou reprodutivo) e a partir daí F_n=F_n-1+F_n-2 : os casais no n-ésimo mês são aqueles que já existiam no mês anterior mais os filhos daqueles que têm dois ou mais meses de idade. Desta forma F₃=2, F₄=3, F₅=5, F₆=8, F₇=13 etc

É extraordinário que esta sequência ingênua esteja relacionada com muitas ideias profundas. Por causa disso, ela também surge em áreas em que a matemática tem um papel discreto, mas soberano, como a música e a pintura.

Mas o mais impressionante é que os números de Fibonacci estão refletidos na natureza à nossa volta, de vários modos: nas conchas de mariscos, no arranjo dos galhos de árvores ou das pétalas de flores, até na estrutura das galáxias.

Do ponto de vista matemático, os números de Fibonacci ainda reservam muitos mistérios.

Por exemplo, não sabemos se existe um número infinito de primos de Fibonacci. Sabemos que para F_n ser primo é necessário que n seja. Isso é uma consequência da bela fórmula mdc(F_m,F_n) = F_mdc(m,n), onde mdc significa “máximo divisor comum”. Mas a condição não é suficiente: 19 é primo e no entanto F₁₉=4.181 não é.

Agora, se n é primo então F_n não tem nenhum divisor comum com os números de Fibonacci anteriores. Será que o leitor consegue provar isso?

Respostas são bem-vindas pelo e-mail viana.folhasp@gmail.com.

Marcelo Viana - diretor-geral do Instituto de Matemática Pura e Aplicada, ganhador do Prêmio Louis D., do Institut de France.

Fonte: coluna jornal FSP