A matemática da bola da Copa

Bolas de futebol eram feitas de couro, e a questão básica era como produzir um objeto redondo com um material plano.

Marcelo Duarte escreveu uma bonita coluna sobre a evolução tecnológica da bola da Copa do Mundo. O meu interesse nessa história é pelo lado da matemática.

Nos primórdios, bolas de futebol eram feitas de couro, e a questão básica era como produzir um objeto redondo com um material que é basicamente plano. 

O mesmo problema ocorre em outras situações. 

Na alta costura: como usar tecidos planos para revestir com elegância as curvas do corpo humano? Na cartografia: qual é o melhor modo de representar o globo terrestre (redondo!) por meio de mapas planos? Importantes avanços na matemática resultaram do estudo dessas questões práticas.

Em teoria, a solução seria fabricar a bola com um grande número de pedacinhos de couro, formando um poliedro (sólido geométrico) razoavelmente "redondo". 

Há muitas maneiras de fazer isso, mas todas precisam obedecer à fórmula de Euler: F-A+V=2, onde F é o número de faces (pedaços de couro), A é o número de arestas (costuras) e V é o número de vértices (onde as costuras se encontram). 

Na prática, é preciso encontrar um equilíbrio, pois é complicado costurar uma bola com muitas faces.

As bolas utilizadas nas primeiras Copas tinham faces com formatos irregulares. A Copa do México de 1970 introduziu um conceito elegantíssimo, que foi usado até 2002 e voltou em 2010 e 2018: a Telstar tem a forma de um icosaedro truncado, com 32 faces, 20 hexágonos e 12 pentágonos (confira a fórmula de Euler!). 

Originalmente, os hexágonos eram pintados de branco e os pentágonos de preto, e acredito que para muitos de nós esse ainda é o paradigma do que é uma bola de futebol.

O avanço na engenharia de materiais nos libertou das limitações do couro, permitindo experimentar outros conceitos. 

A Brazuca, bola da Copa de 2014, detém o recorde do menor número de faces, apenas 6. Na verdade, conforme foi apontado pelos matemáticos na época, a Brazuca é realmente um cubo (com faces redondas)!

As leis da Fifa estipulam que as bolas devem ser esféricas, e indicam um meio prático para conferir a esfericidade: o diâmetro medido em 16 direções diferentes deve ser praticamente o mesmo (entre 68 e 70 cm). 

O que poucas pessoas sabem é que esse critério está matematicamente errado: existem formas cujos diâmetros são iguais em todas (!) as direções, mas estão muito longe de serem esferas. 

O que a Fifa faria se os times entrassem em campo com uma dessas "bolas"?

MARCELO VIANA - diretor-geral do Instituto de Matemática Pura e Aplicada, ganhador do Prêmio Louis D., do Institut de France.